다양체의 미분위상수학

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수학, 자연과학

Author(s)

조용승

Biography

조용승
경북대학교 수학교육과 졸업. 미국 시카고 대학교에서 박사학위를 받았다.
미국 브랜다이즈 대학교 조교수로 지냈고, 대한수학회 총무이사로 지냈다.
현재 이화여자대학교 수학과 교수로 재직중이다.
『위상수학』 등 저차원 다양체에 관한 50여 편의 논문을 발표했다.

Abstract

우리가 접하는 대부분의 수학적 대상은 다양체이다. 다양체의 수학적인 구조나 성질을 알기 위해서는 대역적인 연구가 불가피하다. 다양체의 대역적 연구를 위해서는 국소적인 연구를 종합하여 전체적인 성질을 유도해야 하며 이에 따라 미분기하학, 대수적 위상수학, 대역해석학, 그리고 미분위상수학적 연구가 필요하다. 이 책은 다양체를 공부하려는 대학원생을 위하여 집필하였으며 그 내용은 다음과 같다.

미분다양체 내에 매장과 횡단성으로부터 교차수를 정의하고 이를 이용하여 러프셔츠 고정접 이론, 푸앵카레-호프 정리와 다양체의 오일러 지표를 유도하였다. 다양체 상에 드람 코호몰로지를 유도하고 스토크스 정리와 가우스-보네 정리를 소개하였다. 다양체를 단체로 나누어 조합적으로 호몰로지를 정의하고 쌍대의 개념을 이용하여 드람 정리를 유도하였다.

다양체의 특이 호몰로지와 코호몰로지 사이에 푸앵카레 쌍대정리를 유도하였다. 다음은 다양체를 미분기하학적 및 해석학적인 면으로 연구하기 위하여 벡터다발, 접다발, 공변접다발을 정의하고 다발상에 접속과 곡률을 소개하였다.
벡터다발의 특성류와 지표정리를 소개하고 드람, 돌보, 호지, 디락 작용소에 지표정리를 응용하였다.

제1장 미분 다양체 (Differential Manifold)
제2장 횡단성(Transversality)과 교차수(Intersection Number)
제3장 유향교차수(Oriented Intersection Number)
제4장 드람 코호몰로지(de Rham Cohomology)
제5장 조합 위상수학(Combinatiorial Topology)
제6장 특이호몰로지(Singular Homology)와 코호몰로지
제7장 벡터 다발(Vector Bundle)
제8장 뼈대장(Frame Field)
제9장 벡터다발의 접속(Connetion)
제10장 지표이론(Index theory)
제11장 지표정리의 응용